【エディック個別舞多聞校】ひとくち算数 第六回
保護者の皆さま、ご家族の皆さまへ
いつもお子さまの学習を温かく支えていただき、誠にありがとうございます。
今回でチャレンジ問題は第六回を迎えました。
今回のテーマは「図形の面積」です。
図形の面積は、公式を覚えるだけでなく、「どこを基準に考えるか」「どのように分けたり、組み替えたりできるか」といった思考が重要になる単元です。そのため、最初は難しく感じるお子さまもいるかもしれません。
しかし、「この形は、こんなふうに考えられるんだ」「別の形に分けたら分かりやすいね」といった気づきの積み重ねが、図形への理解を深め、算数の面白さにつながっていきます。
ご家庭ではぜひ、「どうしてこの面積になるのかな？」「他の考え方はできそう？」といった声かけをしながら取り組んでみてください。考えを言葉にすることで、お子さまの思考はより確かなものになります。
今後も、楽しみながら思考力を伸ばしていける問題を継続してお届けしてまいります。引き続き、ご理解とご協力のほど、よろしくお願いいたします。
――第六回テーマ：図形の面積――
エディック個別舞多聞校スタッフ一同
下の図のように、一辺の長さが $10\text{cm}$ の正方形 $\text{ABCD}$ があります。その対角線の交点 $\text{O}$ に、別の正方形 $\text{EFGH}$ の頂点 $\text{E}$ が重なっています。
正方形 $\text{EFGH}$ の一辺の長さは $10\text{cm}$ 以上あり、辺 $\text{EF}$ が辺 $\text{BC}$ と交わる点を $\text{P}$、辺 $\text{EH}$ が辺 $\text{CD}$ と交わる点を $\text{Q}$ とします。
図の角度の条件として、$\angle \text{POC} = 28^\circ$ であるとき、色がついた部分（四角形 $\text{OPCQ}$）の面積は何 $\text{cm}^2$ ですか。
※図はイメージです。正確な縮尺ではありません。
この問題は、まともに長さを計算しようとすると非常に難しくなります。しかし、「図形を回転移動させて、わかりやすい形に変える」という工夫をすると、あっという間に解くことができます。
正方形 $\text{ABCD}$ の対角線 $\text{AC}$ と $\text{BD}$ は、中心 $\text{O}$ で垂直に交わります（ $90^\circ$ ）。
また、重なっている正方形 $\text{EFGH}$ の角 $\text{E}$ も $90^\circ$ です。
ここで、三角形 $\text{OBP}$（白い部分）と 三角形 $\text{OCQ}$（色のついた部分の一部）に注目してみましょう。
- $\text{OB} = \text{OC}$ （正方形の対角線は中心で2等分されるため等しい）
- $\angle \text{OBP} = \angle \text{OCQ} = 45^\circ$ （正方形の対角線が角を2等分するため）
- $\angle \text{BOC} = 90^\circ$ であり、$\angle \text{POQ} = 90^\circ$ です。
ここから共通する $\angle \text{POC}$ を引くと、
$\angle \text{BOP} = 90^\circ – \angle \text{POC}$
$\angle \text{COQ} = 90^\circ – \angle \text{POC}$
よって、$\angle \text{BOP} = \angle \text{COQ}$ となります。
上の3つの条件（1辺とその両端の角が等しい）より、
$\triangle \text{OBP}$ と $\triangle \text{OCQ}$ は合同（ぴったり重なる同じ形）であることがわかります。
つまり、色のついた部分である四角形 $\text{OPCQ}$ の面積は、次のように変形できます。
$= \triangle \text{OPC} + \triangle \text{OCQ}$
$= \triangle \text{OPC} + \triangle \text{OBP}$ （同じ面積だから）
$= \triangle \text{OBC}$
結局、求める面積は正方形 $\text{ABCD}$ の面積のちょうど $\frac{1}{4}$ になることがわかります。
（角度が $28^\circ$ でも何度でも、重なり方は変わりますが面積は常に一定です！）
正方形 $\text{ABCD}$ の面積は $10 \times 10 = 100 \text{cm}^2$ です。
求める面積はその $\frac{1}{4}$ なので、
答え：\( 25 \text{cm}^2 \)
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