この問題を正面から通分して計算しようとすると、分母がとても大きな数になり、ものすごく大変です。 「一見すると大変そうな計算には、何か特別な仕掛けや規則が隠されている」と考えるのがポイントです。

ステップ1：分数を「魔法の変身」させてみよう！
この問題の分数は、ある面白い性質を持っています。例えば、最初の分数 $\frac{1}{1 \times 2}$ を見てみましょう。

• $$ \frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{2} $$

実はこの分数は、次のように引き算の形に「変身」させることができます。

• $$ \frac{1}{1} – \frac{1}{2} = \frac{2}{2} – \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$

すごい！ $\frac{1}{1 \times 2}$ と $\frac{1}{1} – \frac{1}{2}$ は、見た目は違うのに答えが同じになりました。
次の $\frac{1}{2 \times 3}$ も同じように変身できます。

• $$ \frac{1}{2} – \frac{1}{3} = \frac{3}{6} – \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \quad \left( \text{これは} \frac{1}{2 \times 3} \text{と同じ！} \right) $$

この規則は、問題に出てくるすべての分数にあてはまります。

ステップ2：変身した式を並べてみよう
問題の式を、すべて「魔法の変身」させた後の形で書き直してみましょう。 こうして並べてみると、何か気づくことはありませんか？

ステップ3：残ったものを計算する
上の図のように、「$-\frac{1}{2}$」のすぐ後に「$+\frac{1}{2}$」が来て、「$-\frac{1}{3}$」のすぐ後に「$+\frac{1}{3}$」が来ます。 このように、間の分数がすべてプラスとマイナスで打ち消し合って消えてしまいます。
このタイプの計算は、間の大部分が消える様子が、昔のタバコを吸う道具である「キセル」に似ていることから、「キセル算」と呼ばれることもあります。

最終的に残るのは、一番最初の「$\frac{1}{1}$」と、一番最後の「$-\frac{1}{100}$」だけです。

あとは、この引き算を計算するだけです。

このように、一見複雑な計算も、分数の形を変えるという一つのひらめきで、簡単な問題に変わりましたね！